Stardust Crown
大学の化学系の講義で知った話で、実際には電子の平均衝突時間の問題でしたが、明らかにわかりにくいと思われるので、アレンジして出題します。
ジャンケンを繰り返し行うことを考える。この手の問題の常識として、どの手を出す確率も１／３ずつとする。また、引き分けも１回に含めてカウントする。まずは、ジャンケンに勝つ確率を考えよう。どの手を出す確率も１／３だから、どの手を出しても１／３の確率で勝つ。したがって、勝率は１／３となる。（引き分けも１回としていることに注意！）
まず、Ｎ回のジャンケンをして、その結果を書き並べ、記号列 A_n を作る。（例えば、勝利を○、引き分けを△、敗北を×で書き並べる。）次に、記号列 A_n の記号と記号との間に番号を割り振り、非負整数列 B_n と対応させる。例えば、B_0 は、次に第１回目のジャンケンの結果が記される“先頭”であり、 B_k で記号列 A_n を切断すると、その前には第 k 回目までのジャンケンの結果が記されることになり、さらに、その次からは第 k+1 回目以降のジャンケンの結果が並ぶというわけである。
《列》 B_0 A_1 B_1 A_2 B_2 A_3 B_3 A_4 B_4 ……
《例》 ジャンケンの結果が、○／×／△／× だったなら、A_1=○ A_2=× A_3=△ A_4=× となり、B_2 から見ると、次が「△」、前が「×」ということになる。
ジャンケンにおいて勝利と勝利との平均間隔を求めてみよう。
下準備のように記号列を取ったとき、k → ∞、N-k → ∞を考えて（つまり 0 ≪ k ≪ N なる条件が成立する中で）、k を無作為に抽出し、B_k 以後の A_n に最初の○が現れるまでの期待回数を考える。（これは、ある瞬間から見た次の勝利までの期待回数を意味する。）
この期待回数を E_a とすれば、どの記号も同様に確からしく現れるので、
E_a ＝1*(1/3)+2*(2/3)*(1/3)+3*(2/3)*(2/3)*(1/3) ......
となり、E_a = 3 となることがわかる。
次に、 B_k 以前の A_n に最初の○が現れるまでの期待回数 E_b を考える。すると、 E_a と同様にして、E_b = 3 となることがわかる。
これらは、任意の瞬間に、次に勝利するまでのジャンケンの期待回数が３回であり、かつ、前に勝利したときまでのジャンケンの平均回数が３回であったことを示す。
《列》 ○？？_↓_？？○
したがって２＋２＝４より、ジャンケンのある勝利から次の勝利までの平均間隔は４回である。
上記の平均間隔を考えれば、△または×を？で表すと、n → ∞ のとき A_n を適当に並べ替えることで、
○？？？？○？？？？○？？？？○？？？？……
とできることになる。
すると、○の出現頻度は１／５であり、勝利確率＝１／５になってしまう。これはなぜか？
以上のパラドックスは、生起確率１／ｐ の事象に応用できます。この事象の生起間隔が２ｐ−２ になってしまう、とするわけですね。例えば、サイコロで特定の目が出る事象、コインの表裏の間隔……などなど、別に他のものを取り上げることもできます。
そして、このような離散現象ではなく、連続現象について問題にした例が『電子の平均衝突間隔』であり、ドゥルーデのパラドックスの現題だったわけですね。
平均間隔４回というのは直観とは異なる。３回に１回勝つのだから、恐らく２回が平均間隔になるだろう、これが普通の予想である。実際、問題編の最後で述べたように、勝率１／３の結果を「均す」ことを考えると、平均間隔は２回になる。
あるいは、もっと厳密に考えてもよい。任意の瞬間から、次に勝利するまでの回数を、次の次に勝利するまでの回数から引いた数を考えるのである。詳細は省くが、これからも平均間隔が２回であることが導かれるだろう。
このように、別のアプローチから考察してみると、どうやら４回ではないらしい、とわかる。では、どこで間違えてしまったのだろうか？
まずは、正の時間軸（これからのジャンケン）の結果を並べる図を書いてみる。
《図》↓＿？？○？？○？？○？？○？……
次に、反転させた時間軸（これまでのジャンケン）の結果も、同じような図で分布する。
《図》……？○？？○？？○？？○？？＿↓
この時間軸を接合し“端”同士をくっつけると下図のように“間隔”が４回の部分が形成されるように見える。
《図》……？○？？○？？○？？○？？＿↓＿？？○？？○？？○？？○？……
上記のように、問題編では「任意の瞬間」から次の勝利まで、同じく「任意の瞬間」から前の勝利まで、を考えた。そしてその合計を考えたのである。勝利の平均間隔を求める方法として、この単純に和をとる考え方は適当なのだろうか？ 実はそうではない。ここに誤りがある。
今回は、勝利の平均間隔を考えている。ここでいう間隔とは、ある勝利と別の勝利とに挟まれたところである。ということは、勝利が２回以上あって、はじめて間隔を数えることができる。したがって、特にジャンケンをはじめたとき、勝利は当然０回だから、１回目の勝利が発生しても、間隔を数えることはできないというになる。
そして、前述した「任意の瞬間」とは、このスタート地点と等価なのだ。勝利が存在していない状況で、１回目の勝利までの回数をカウントしている。だから、まだ「間隔」を数えることができない。そこで、今度は過去に遡ることで（仮想的な）２回目の勝利を考えてしまった。（こうして「間隔」を公正に数えているかのような錯覚が生じてしまう。）
つまり、パラドックスの原因は、勝利回数０回から間隔を数えはじめたことにある。そのため、間隔を数えることのできない、はじめの１回分だけ回数が多くなってしまったのである。
本来ならば、まず勝利のところを探して、そこを起点として数えはじめなければならないのだ。（ちなみに、こう考えると、試行開始地点および試行終了地点のような“端っこ”の部分はカウントから除外されることになる。なお、このような部分は、試行回数が大きくなると、無視できるほどに小さくなる。）