Stardust Crown
「サーベロニの問題」として古くから知られています。よくパラドックスであると言われますが（「３囚人のパラドックス」という呼び方もある？）、実のところ正解がはっきりと定まるので“確率のパズル”に分類できるでしょう。
「ダイヤとティッシュ」、「モンティ・ホール問題（ジレンマ）」（クイズ番組で賞金の入った箱を選ぶ、などといった変形）等の呼び方もあるみたいですね。著名な数学者も混乱させたことがあるそうで、確率問題における「同様に確からしい」という概念の大切さを改めて認識できます。（これを正しく把握できていないと、容易に混乱させられてしまうのです。）
刑務所Ｘには、三人の死刑囚Ａ・Ｂ・Ｃがいます。これまでの法務大臣は死刑制度に反対でしたが、新任の法相はそうでもないらしく、死刑執行の何枚かの書類に署名・捺印してしまったそうなのです。刑務所Ｘにもその話が伝わりましたが、死刑囚Ａが知ることができたのは「三人の死刑囚のうち、二人が死刑になる」という事実だけでした。
死刑囚Ａは焦りました。このままでは２／３の確率で殺されてしまいます！ とはいえ、再審請求も却下されたので、もうどうすることもできないのでしょうか……。
突然、死刑囚Ａは天啓を得たように思いました。
「そうだ！ 自分が死刑に処される確率を何とか減らす方法がある。」
死刑囚Ａは、誰と誰が死刑になるのかを知っている看守を呼び、話しかけました。
「看守さん、旦那が死刑囚にそいつ自身の情報を与えてはいけないことは知っている。だが、ＢとＣならいいだろう？ 同じムショに押し込められた身の上、あいつらと俺とは浅からぬ縁があるのだから……。
ところで、俺はもう、三人のうち二人が死刑になることは知ってしまった。ということは、だ。ＢとＣの片方と俺か、あるいはＢとＣの両方が殺されるわけだ。
すると、俺が死刑になろうがなるまいが、ＢとＣのうち、少なくとも一人は死刑に処されるわけだ。そこでＢとＣのうち、死刑になる奴の名前を一人だけ教えてくれ。俺が勝手に一人の名前を念じるのと同じだから、旦那も規則を破ったことにはならないだろう？」
看守はしばらく考えこみましたが、やがて死刑囚Ａの言ったことをその通りだと認めました。そこで看守は答えたのです。
「いいだろう、教えてやる。少なくともＢは死刑に処される。」
そして看守は、誰にも言うなよ、と残して去っていきました。
死刑囚Ａは残された独房で飛び上がって喜びました。
「素晴らしい！ 看守の話を聞く前は、俺（Ａ）・Ｂ・Ｃの三人のうち、二人が死ななければならなかったのだから、俺は２／３の確率で死ぬところだった。だが、今やＢの死刑が決まり、死ななければならないのは、俺（Ａ）かＣの二人に一人だ。つまり、俺の死刑が執行される確率は１／２に減ったのだ！」
死刑囚Ａは大いなる幸福感に浸ったのです。
さて、死刑囚Ａの幸福感は本物でしょうか？ それとも幻想でしょうか？ もし本物だとしたら、看守は規則を破ってしまったのでしょうか？ もし幻想だとしたら、ＡかＣの片方が死ぬという状況の中で、Ａが死ぬ確率だけ２／３と偏っているのでしょうか？
では、状況を少し変えて、死刑囚Ａが「Ｂは死刑になるのか？」と尋ねて、看守が「Ｂは死刑に処される」と答えたとしたらどうでしょう？ 今度の死刑囚Ａの幸福感は最初の状況と比べて違うものなのでしょうか？
今度は、看守が「Ｂは死刑にならない」と答えていたかもしれないことを含め『問一』を併せてもう一度考えてください。
何が「同様に確からしい」のか、しっかり考えなければなりません。つまり死刑囚の組み合わせは「１：ＡとＢ」「２：ＡとＣ」「３：ＢとＣ」のいずれかで、これは同様に確からしいです。
さて、看守はＢが死刑だと言いました。しかし今度は、ケース１とケース３が同様に確からしいと思ってはいけません！ なぜなら、ケース１の場合、看守はＢの名前を告げるしかありませんが、ケース３の場合は、Ｂの名前を告げるかＣの名前を告げるか、この２つの選択が残されていたからです。
今、「Ｂの名が告げられた」ことを出発点にしてしまっているので、どれとどれが同様に確からしいのかわかりにくくなっています。そこで、最初から整理してみましょう。
突然ですが、対等な平行世界が６つ（ア・イ・ウ・エ・オ・カ）存在していると仮定してみます。（なぜ６つなのかは最後まで読めばわかるはずです。）ケース１〜３は同様に確からしいので、それぞれのケースを満たす世界が２つずつあると考えるのが妥当ですね。（よくある、可能性によって世界が枝分かれしていくという話を想像してください。分数ではわかりにくいのではじめの世界を１ではなく６にしたものです。）
次に、看守が囚人Ａの提案を聞いて、死刑囚の名前を一人伝える場面を想像してみましょう。ケース１の世界とケース２の世界なら迷うことはありません。Ａでない方の名前を告げればよいのですから。ところが、ケース３の世界では少し迷います。ＢとＣのどちらの名前を告げましょう？ どっちにしろ大差はありませんから、ちょうど世界が２つありますし、１つ１つを割り当ててよいでしょう。
さて、今、Ｂの名前を告げられたのですから、ウ・エ・カの世界は消滅してしまいましたね。そこで「Ｂの名前を告げる」世界を確認してみると、「ア・イ・オ」の３つになります。そのうち、Ａが死刑になる世界はどれですか？
ケース１の世界ですから「ア・イ」となります。つまり、３つある対等な（同様に確からしい）平行世界のうち、２つの世界でＡは死刑なのです。
……Ａが死刑になる確率は２／３ですね。
『問一』と同じように、最初から整理してみましょう。
同じく、対等な平行世界が６つ（ア・イ・ウ・エ・オ・カ）存在していると仮定してみます。（６つにしたのは『問一』と状況を揃えるためです。）世界を枝分かれさせましょう。
次に、看守が囚人Ａの問二の提案を聞いて、死刑囚Ｂが死刑か否かを伝える場面を想像してみましょう。今回は、どのケースの世界でも迷うことはありません。Ｂが死刑か否かをそのまま伝えればよいのですから。
さて、今、Ｂの名前を告げられたのですから、ウ・エの世界が消滅しましたね。そこで「Ｂの名前を告げる」世界を確認してみると、「ア・イ・オ・カ」の４つになります。そのうち、Ａが死刑になる世界はどれですか？
ケース１の世界ですから「ア・イ」となります。つまり、４つある対等な（同様に確からしい）平行世界のうち、２つの世界でＡは死刑なのです。
……Ａが死刑になる確率は１／２ですね。
『問一』と『問二』それぞれでどう状況が異なるのか、違う角度からもう一度振り返ってみます。看守が異なる返答をした場合を想像して、Ａが答えを聞く前の立場から、Ａが死刑になる確率を再計算してみましょう。
問一で、もし『少なくともＣは死刑になる』と答えるとしても、可能な世界は同じように３つで、そのうち２つの世界でＡが死刑になります。ＢとＣを入れ替えるだけですから当たり前ですね。またどちらの答えになるかは五分五分ですから、Ａが死刑になる確率は
１／２×２／３＋１／２×２／３＝２／３
です。これは何ら矛盾はないです。
しかし、もしも看守の答えによってＡが死刑になる確率が１／２に変化するとしたら
１／２×１／２＋１／２×１／２＝１／２
で、もとのＡの死刑確率と反する結果が導けてしまいますね。（いま、結果を聞く前に、計算をしていることに注意してください。）
一方、問二で、もし『Ｂは死刑にならない』と答えるとしたら……可能な世界は「ウ・エ」の２つで、どちらの場合でもＡは死刑です！ ただし『Ｂが死刑になる』と答える確率は、Ｂが死刑になる確率と等しく２／３ですから、Ａが死刑になる確率は
２／３×１／２＋１／３×１＝２／３
です。やはり何の矛盾もありません。
上記は、要するに世界の枝分かれの話を計算に直しただけなのですが、『問二』では『Ｂは死刑にならない』と答えられるかもしれないリスクを背負った（答えによってはＡが死刑になることが確定してしまいます）分だけ幸福は本物だった、一方、『問一』ではどちらの答えでもＡにリスクはないので（Ａの死刑が確定することはない）幸福は幻想だった、と言えば納得できるでしょうか。
著作・制作／永施 誠